A MATHEMATICAL MODEL OF THE DIGITAL SYSTEM OF AUTOMATIC TARGET TRACKING BY RANGE WITH THE USE OF THE "CODE-TIME DELAY" SCHEME
A MATHEMATICAL MODEL OF THE DIGITAL SYSTEM OF AUTOMATIC TARGET TRACKING BY RANGE WITH THE USE OF THE "CODE-TIME DELAY" SCHEME
Abstract
This article examines the mathematical model of the digital system of automatic target tracking by range, which, unlike the existing ones, satisfies all the requirements of stability and quality of the system of range measurement and automatic target tracking. Also in the work the structural scheme is shown and the mathematical model of the converter "code-time delay" is constructed, which is tested for stability and quality, the admissible areas of parameters of the digital control device, providing stability of the constructed mathematical model, are determined. The permissible areas of the parameters of the algorithm of the digital control device, at which the system of automatic range tracking corresponds to its purpose, are determined.
1. Введение
Как показывает анализ работы современной авиационной техники, ее эксплуатация осуществляется при широком воздействии разнообразных параметров (радиопомех, маневра целей и прочее). Эффективность работы воздушного судна во многом определяется системой автоматического сопровождения цели. Особенно это относится к работе систем автоматического сопровождения целей по угловым координатам и дальности (АСД). Запаса динамической устойчивости и быстродействия не всегда хватает для устойчивого автоматического сопровождения маневренных целей, что приводит к бесконтрольному режиму управления. При этом существенно повышаются и ошибки сопровождения целей . Поэтому вышеуказанные факторы необходимо учитывать при разработке систем автоматического сопровождения целей.
В данной статье была разработана математическая модель цифровой системы автоматического сопровождения цели для обеспечения эффективности и безопасности полётов маневренных целей.
2. Основные результаты
![Структурная схема преобразователя «код-временная задержка»](/media/images/2024-03-13/33301523-698a-4e28-82ca-f0a7f99bd0a5.jpg)
Рисунок 1 - Структурная схема преобразователя «код-временная задержка»
При этом происходит опрокидывание триггера Т и напряжение на его выходе увеличивается. В результате счетные импульсы через схему «&» начинают поступать на счетчик импульсов Cr. В счетчик предварительно записывается с обратным знаком число NK (kT). После поступления в счетчик NK счетных импульсов в нем фиксируется число ноль, а на выходе появляется импульс переполнения, который используется для запуска генератора селектирующих импульсов. Одновременно выходной импульс ПКЗ возвращает триггер Т в исходное состояние .
Преобразователь код-временная задержка и генератор импульсов являются практически безынерционными устройствами
. Поэтому можно предположить, что задержка селектирующих импульсов и число NK связаны пропорциональной зависимостью:![Структура математической модели преобразователя «код-временная задержка»](/media/images/2024-03-13/1315bb94-d02e-4db8-a049-1b2dc56485ad.jpg)
Рисунок 2 - Структура математической модели преобразователя «код-временная задержка»
3. Основные результаты
2.1. Построение математической модели преобразователя «код-временная задержка»
Преобразователь код-временная задержка (ПКЗ) и генератор селектирующих импульсов (GІ) являются формирователем управляющих по задержке импульсов. В каждом такте работы ПКЗ осуществляется преобразование числа NK(kT) в пропорциональный ему временной сдвиг выходного импульса. Принцип работы ПКЗ объясняется на рис. 1.Начало следующего такта работы определяет нахождение на вход триггера Т синхронизирующих импульсов.
При этом происходит опрокидывание триггера Т и напряжение на его выходе увеличивается. В результате счетные импульсы через схему «&» начинают поступать на счетчик импульсов Cr. В счетчик предварительно записывается с обратным знаком число NK (kT). После поступления в счетчик NK счетных импульсов в нем фиксируется число ноль, а на выходе появляется импульс переполнения, который используется для запуска генератора селектирующих импульсов. Одновременно выходной импульс ПКЗ возвращает триггер Т в исходное состояние .
Преобразователь код-временная задержка и генератор импульсов являются практически безынерционными устройствами
. Поэтому можно предположить, что задержка селектирующих импульсов и число NK связаны пропорциональной зависимостью:Структура математической модели преобразователя «код – временная задержка» приведена на рис. 2.
2.2. Анализ устойчивости системы АСД
Для анализа устойчивости цифровой системы АСД необходимо определить характеристический многочлен замкнутой системы. Для этого необходимо определить оператор передачи разомкнутой схемы автоматического управления (САУ) R(S).
Как следует из рис.3,
где:
R(S) – оператор передачи разомкнутой схемы автоматического управления (САУ),
K0 (S) – линейный стационарный разностный оператор оценивания дальности,
Ke (S) – линейный стационарный разностный оператор экстраполяции дальности,
Kgr – коэффициент усиления с размерностью (одиночный разряд), связывающий величину погрешности дальности, выраженную в метрах, со значением исходного кода ПНК.
После подстановки K0(S) получаем:
где q=kgr/km – отношение фактической крутизны дискриминаторной характеристики к ее значению, хранящемуся в преобразователе код-временная задержка и цифровом код-преобразователе (0<q<1).
Для определения условий устойчивости схемы автоматического управления составим характеристическое уравнение:
Для того чтобы система была устойчивой, корни данного уравнения должны быть по модулю меньше единицы. Поэтому дальнейшее решение задачи сводится к отысканию корней Z1 и Z2 и определению областей значений параметров K1 и K2T, при которых Z2 <1 и Z1<1.
Более просто эта задача может быть решена с использованием критерия устойчивости Гурвица. Для этого преобразуем характеристический многочлен C(Z) в многочлен:
C(ν) = (1 — ν)n C(Z), Z = 1 + ν / 1 — ν
где ν – комплексная переменная, имеющая положительную часть при Z<1
.Согласно критерию устойчивости Гурвица, для того чтобы схема автоматического управления второго порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными
. Таким образом, условия устойчивости цифровой системы автоматического сопровождения исследуемой дальности будут следующими:2К1 + К2Т < V,
K1 > 0,
K2T > 0.
![Область устойчивости цифровой системы АСД](/media/images/2024-03-13/3da4053a-e18e-4f9e-96c2-e2fc08f9b119.jpg)
Рисунок 3 - Область устойчивости цифровой системы АСД
Z – изображение переходной характеристики H (nT) имеет вид:
Раскладывая на дроби выражение для H (Z), получим следующий результат:
Конечное выражение для переходной характеристики зависит от характера корней знаменателя второй дроби. Первой дроби соответствует единичная ступенчатая решетка функции 1(nT – T).
В общем виде переходную характеристику можно записать в следующем образе:
Если корни знаменателя второй дроби выражения (6) комплексно сопряжены, тогда функции h1(nT) s h2 (nT) выражаются через умножение гармонической и показательной решетчатой функции
.График переходной характеристики системы АСД показан на рис. 4.
2.3. Оптимизация параметров Ки и К2 алгоритма оценивания и экстраполяции по критерию минимума среднеквадратичной погрешности
Согласно условиям задачи, ввиду воздействия-дискретный белый шум с дисперсией Df, а влияние-детерминированная функция вида:
![Переходная характеристика системы АСД](/media/images/2024-04-27/419cdf3d-6501-4a94-97db-7e8743b5587f.jpg)
Рисунок 4 - Переходная характеристика системы АСД
Используя метод коэффициентов погрешностей, определим математическое ожидание динамической погрешности сопровождения
Следовательно, квадрат среднеквадратичной ошибки равно:
Как видим, отдельные составляющие среднеквадратичной погрешности различным образом зависит от K2T: первая составляющая обратного квадрата K1T, а вторая монотонно увеличивается с увеличением K2T. Второе приложение по изменению K1 имеет минимум, который имеет способ решения.
При аналитическом решении задачи необходимо определить производные d(S2)/d(K2T) і d(S2)/d(K1), и, сравнив их с нулем, отыскать из полученных уравнений значения K2T и K1, поставляют экстремум функции K2T, а затем выбрать те значения K2T и K1, при которых обеспечивается минимум среднеквадратичной погрешности.
При аналитическом решении задачи необходимо определить производные d(S2)/d(K2T) и d(S2)/d (K1), и, сравнив их с нулем, отыскать из полученных уравнений значения K2T и K1, получаем экстремум функции K2T, а затем выбрать те значения K2T и K1, при которых обеспечивается минимум среднеквадратичной погрешности.
![Зависимость среднего квадрата ошибки р2 от параметров алгоритма K1 и K2T](/media/images/2024-04-27/b925c81b-8e18-495e-babc-933d1d7ebcbd.jpg)
Рисунок 5 - Зависимость среднего квадрата ошибки р2 от параметров алгоритма K1 и K2T
![Зависимость среднего квадрата ошибки р2 от параметра K2T при K1 =0.304](/media/images/2024-03-13/cbc67b02-c20c-4b4e-9cb8-7f76191483be.jpg)
Рисунок 6 - Зависимость среднего квадрата ошибки р2 от параметра K2T при K1 =0.304
Если это выражение для K1 подставить в уравнение K1 (8), получим уравнение для определения оптимального значения параметров в виде функции K2T от дисперсии эквивалентного влияния, которое мешает Df и ускорение g, которое можно решить в числовой форме.
График зависимости р2 от K1 и K2T приведен на рис. 5. А если выражение подставить в уравнение K1 (8), тогда график зависимости р2 от K2T будет иметь вид, который приведен на рис. 6. Таким образом, оптимальное значение K2T=0,141, а K1=0,304.
Лучше разрабатывать системы на цифровой элементной базе и делать оптимизацию систем, исходя из критериев оптимизации, выбрать параметры систем, которые разрабатываются. Для этого необходимо иметь цифровые модели соответствующих систем сопровождения целей. Хотя аналоговая система автоматического сопровождения дальности (АСД) характеризуется простотой конструктивного исполнения, но в то же время им свойственны такие недостатки, как относительно невысокая стабильность параметров, дрейфы нулей операционных усилителей, необходимость постоянных регламентных работ в процессе эксплуатации. В этом отношении цифровые системы АСД отличаются в лучшую сторону. У этих систем высокая стабильность параметров, которая не зависит от воздействия внешней среды , . Кроме этого, при цифровой реализации систем АСД значительно сокращается эксплуатационные расходы, связанные с периодическими регулировочными работами. Однако цифровая обработка сигнала приводит к дополнительным, так называемым инструментальным, погрешностям систем, связанных с конечной разрядной сеткой. Чтобы эти дополнительные погрешности не нарушали нормальной работы системы, необходимо выбирать цену младших разрядов цифровых устройств таким образом, чтобы инструментальные погрешности были на порядок и более ниже, а чем принципиально неисправимые ошибки, которые обусловлены действием шумов антенны, радиоприёмного устройства и так далее , . Исходя из выше сказанного при формировании цифровой системы измерения дальности одна из задачи заключается в выборе цены младшего разряда преобразования «код-временная задержка», при которой инструментальными погрешностями квантования по уровню в пилотажно навигационный комплекс (ПНК) можно будет пренебречь по сравнению с флуктуационной погрешностью систем АСД, которая обусловлена действием внутренних шумов; а также в выборе параметров алгоритма оценивания и экстраполяции дальности, от которого зависит не инструментальные погрешности системы АСД .
4. Заключение
На основании исследования модели системы автоматического сопровождения дальности проведен анализ устойчивости и качества системы. Определены допустимые области параметров алгоритма работы цифрового управляющего устройства, при которых система автоматического сопровождения дальности соответствует своему предназначению. Также рассчитаны систематические и флуктуационные погрешности, оптимизированные параметры алгоритма и по критерию минимума средне-K1 K2 квадратичной погрешности, оценены инструментальные погрешности и сопоставления по флуктуационной погрешности. При выборе параметров системы, по условиям ее устойчивости, когда K2T=0,141 и K1=0,304, возможно К2Т K1 обеспечить погрешность определения дальности, которая не превышает 10 м. На основании проведенного анализа качества системы автоматического сопровождения дальности выбрана оценка младшего разряда в преобразователе напряжение-код. Выбирая цену наименьшего разряда преобразователя напряжение-код менее 0,23 в, можно не учесть влияние инструментальных погрешностей, которые обусловлены квантованием по уровню в преобразователе напряжение-код, влияющий на качество работы системы автоматического сопровождения дальности. Таким образом, по результатам моделирования были обеспечении требования к показателям устойчивости и качества системы автоматического сопровождения дальности, что вполне удовлетворяют требованиям к таким системам.